導(dǎo)數(shù)與微分是微分學(xué)的兩個重要概念，研究函數(shù)的各種性態(tài)以及函數(shù)值的計(jì)算或近似計(jì)算都離不開導(dǎo)數(shù)與微分，導(dǎo)數(shù)與微分是解決這些問題的普遍的有效的工具。
1、瞬時速度
如果物體作非勻速直線運(yùn)動，其運(yùn)動規(guī)律（函數(shù)）是 s = f（t），其中 t 是時間 ，s 是距離 。
現(xiàn)來討論它在時刻 t0 的瞬時速度 。
在時刻 t0 以前或以后任取一個時刻 t0 △t ，△t 是時間的改變量：
當(dāng) △t > 0 時， t0 △t 在 t0 之后 ；當(dāng) △t < 0 時， t0 △t 在 t0 之前 。
當(dāng) t = t0 時，設(shè) s0 = f（t0）。
當(dāng) t = t0 △t 時，設(shè)物體運(yùn)動的距離是 s0 △s = f（t0 △t），有
△s = f（t0 △t） – s0 = f（t0 △t）- f（t0） ，
△s 是物體在 △t 時間內(nèi)運(yùn)動的距離，是運(yùn)動規(guī)律 s = f（t）在時刻 t0 的距離改變量 。
已知物體在 △t 時間的平均速度 v△t （亦稱距離對時間的平均變化率）是
圖（1）
當(dāng) △t 變化時，平均速度 v△t 也隨之變化 。
當(dāng) ∣△t∣較小時，理所當(dāng)然地應(yīng)該認(rèn)為，平均速度 v△t 是物體在時刻 t0 的 “瞬時速度”的近似值 ，
當(dāng) ∣△t∣ 越小它的近似程度也越好 。
于是，物體在時刻 t0 的瞬時速度 v0 （亦稱距離對時間在 t0 的變化率）就應(yīng)是當(dāng) △t 無限趨近于 0 （△t ≠ 0）時，
平均速度 v△t 的極限，即
圖（2）
瞬時速度的定義也給出了計(jì)算瞬時速度的方法，即計(jì)算（1）式的極限。
2、切線斜率
欲求曲線上一點(diǎn)的切線方程，關(guān)鍵在于求出切線的斜率。
設(shè)有一條平面曲線（如圖所示），它的方程是 y = f（x）。
求過該曲線上一點(diǎn) P（x0 , y0）（注：y0 = f（x0））的切線斜率 。
圖（3）
在曲線上任取另一點(diǎn) Q ，設(shè) Q（x0 △x , y0 △y）, 其中 △x ≠ 0 , △y = f（x0 △x）- f（x0）。
由平面解析幾何知，過曲線 y = f（x）上兩點(diǎn) P（x0 , y0）與 Q（x0 △x , y0 △y）的割線斜率（即 △y 對 △x 的平均變化率）
圖（4）
當(dāng) △x 變化時，即點(diǎn) Q 在曲線上變動時，割線 PQ 的斜率 k\’ 也隨之變化；
當(dāng) ∣△x∣較小時，割線 PQ 的斜率 k\’ 應(yīng)是過曲線上點(diǎn) P 的切線斜率的近似值；
當(dāng) ∣△x∣越小這個近似程度也越好 。
于是，當(dāng) △x 無限趨近于 0 ，即點(diǎn) Q 沿著曲線無限趨近于點(diǎn) P 時，割線 PQ 的極限位置就是曲線過點(diǎn) P 的切線，同時割線 PQ 的斜率 k\’ 的極限 k 就應(yīng)是曲線 過點(diǎn) P 的切線斜率 （即 y = f（x）在 x0 的變化率），即
圖（5）
于是，過曲線 y = f（x）上一點(diǎn) P（x0,y0）的切線方程是
y – f（x0）= k（x – x0）
切線斜率的定義也給出了計(jì)算切線斜率的方法，即計(jì)算（2）式極限。
3、導(dǎo)數(shù)的概念
定義：設(shè)函數(shù) y = f（x）在 U（x0）有定義，在 x0 自變數(shù) x 的改變量是 △x ，相應(yīng)函數(shù)的改變量是 △y = f（x0 △x）- f（x0）。若極限
圖（5）
存在，稱函數(shù) f（x）在 x0 可導(dǎo)（或存在導(dǎo)數(shù)），此極限稱為函數(shù) f（x）在 x0 的導(dǎo)數(shù)（或微商），表為
圖（6）
或
圖（7）
若極限（3）不存在，稱函數(shù) f（x）在 x0 不可導(dǎo)。
定理1、若函數(shù) y = f（x）在 x0 可導(dǎo)，則函數(shù) y = f（x）在 x0 連續(xù) 。
定義：若函數(shù) f（x）在區(qū)間 I 的每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱函數(shù) f（x）在區(qū)間 I 可導(dǎo)。
若函數(shù) f（x）在區(qū)間 I 可導(dǎo)，則 對任意的 x∈I 都存在（對應(yīng)）唯一一個導(dǎo)數(shù) f \’（x）,根據(jù)函數(shù)定義，f \’（x）是區(qū)間 I 的函數(shù)，稱為函數(shù) f（x）在區(qū)間 I 的導(dǎo)函數(shù)，也簡稱導(dǎo)數(shù)，表為 f \’（x），y\’ 或 dy / dx 。
4、例題
求正弦函數(shù) f（x）= sinx 在 x 的導(dǎo)數(shù) 。
解： f（x △x）= sin（x △x）
△y = f（x △x）- f（x） = sin（x △x） – sinx
例題圖（1）
例題圖（2）
有
例題圖（3）
例題圖（4）
即正弦函數(shù) sinx 在 R 任意 x 都可導(dǎo)，于是它在定義域 R 可導(dǎo)，并且 （sinx）\’ = cosx 。
同樣，余弦函數(shù) cosx 在定義域 R 也可導(dǎo)，并且 （cosx）\’ = – sinx 。
原創(chuàng)文章，作者：賴頌強(qiáng)講孩子沉迷網(wǎng)絡(luò)游戲怎么辦，如若轉(zhuǎn)載，請注明出處：http://www.75amz.com/154722.html
